\chapter{Sistemas De Ecuaciones Lineales}

\par
Dada una aplicaci\'on $f: \real^m \mapsto \real^n$ y un vector 
$b$ $\in$ $\real^n$, resolver el sistema de ecuaciones $f(x) = b$ 
no es m\'as que buscar el conjunto de vectores de $\real^m$ cuya 
imagen mediante $f$ es el vector $b$, es decir, buscar la imagen 
inversa de $b$ mediante $f$.

\par Un sistema de ecuaciones se dice lineal si verifica que:

\begin{center} 
	$\begin{array}{rcl}
	    a_{11}.x_1 + a_{11}.x_2 + a_{13}.x_3 + \ldots 
					+ a_{1n}.x_n & = & b_1 \\ 
	    a_{21}.x_1 + a_{22}.x_2 + a_{23}.x_3 + \ldots 
					+ a_{2n}.x_n & = & b_2 \\
	    \vdots \\ 
	    a_{m1}.x_1 + a_{m2}.x_2 + a_{m3}.x_3 + \ldots 
				+ a_{mn}.x_n & = & b_m
	\end{array}$ 
\end{center}

\paragraph{}
donde los $a_{ij}$ son los coeficientes, los $x_i$ las inc\'ognitas 
y los $b_j$ los términos independientes.
Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se 
cumplan todas las ecuaciones.

\paragraph{}
\textbf{Expresi\'on Matricial de un sistema}
\par
Cualquier sistema de ecuaciones lineales de la forma vista en el 
punto anterior, se puede expresar matricialmente del modo:
$Ax = b$ donde $A \in \real^{mxn}, \; x \in \real^{n}, 
\; b \in \real^{m}$.

\begin{center}
	$\displaystyle 
	A = 
	\begin{pmatrix} 
	a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n} \\
	a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n} \\ 
	\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
	a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \ddots & a_{mn} 
	\end{pmatrix}
	\qquad x = 
	\begin{pmatrix} 
	x_{1} \\
	x_{2} \\
	\vdots \\
	x_{n}
	\end{pmatrix}
	\qquad b = 
	\begin{pmatrix} 
	b_{1} \\
	b_{2} \\
	\vdots \\
	b_{m}
	\end{pmatrix}$
\end{center}

\section{Factorizaci\'on LU}
\sectionmark{LU}
\input{chapters/sistemas/lu.tex}

\section{Factorizaci\'on QR}
\sectionmark{QR}
\input{chapters/sistemas/qr.tex}

\section{Resolucion De Sistemas Con Matrices Especiales}
\sectionmark{Matrices especiales}
\input{chapters/sistemas/matrices_especiales.tex}

\input{chapters/sistemas/inestabilidad.tex}

\section{M\'etodos Iterativos Para Sistemas Lineales}
\sectionmark{M\'etodos Iterativos}
\input{chapters/sistemas/iterativos.tex}

\section{Direcciones Conjugadas}
\input{chapters/sistemas/dirs_conjugadas.tex}
